피에르 들리뉴

2.1. 출생 및 초기 배경

들리뉴는 1944년 10월 3일 벨기에 에테르베이크에서 태어났다. 그는 어린 시절부터 비범한 수학적 재능을 보였는데, 14세의 나이에 이미 니콜라 부르바키의 수학 원론을 이해하고 있었다고 전해진다. 브뤼셀 자유 대학교에 입학할 무렵에는 이미 대학 수준의 수학 과정을 모두 마스터한 상태였다.

2.2. 학력

들리뉴는 다음과 같은 교육 과정을 거쳤다.

• ~1966년: 브뤼셀 자유 대학교 (석사)
• ~1968년: 브뤼셀 자유 대학교 (박사) - 박사 학위 논문 제목은 "스펙트럼 열의 퇴화 기준 및 렙셰츠 정리(Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales)"였다.
• ~1972년: 파리 제11대학교 (박사) - 오르세에 위치한 이 대학에서 그는 알렉산더 그로텐디크의 지도를 받아 "호지 이론(Théorie de Hodge)"이라는 제목의 논문으로 박사 학위를 취득했다.

3.1. 초기 경력 및 IHÉS 활동

1965년부터 들리뉴는 파리 근교의 IHÉS에서 알렉산더 그로텐디크와 함께 자리스키의 중심 정리를 스킴 이론으로 일반화하는 작업을 진행했다. 1968년에는 장피에르 세르와도 협력하여 모듈러 형식에 관련된 l-진 표현론과 L-함수의 함수 방정식에 대한 중요한 결과를 도출했다. 또한, 그는 호지 이론 분야에 집중하여 가중치(weights) 개념을 도입하고 이를 복소 기하학 대상에 적용했다.

이 시기 들리뉴는 데이비드 멈퍼드와 함께 곡선에 대한 모듈라이 공간의 새로운 설명에 대해 공동 연구를 진행했다. 이들의 연구는 대수적 스택(Deligne-Mumford stacks) 이론의 한 형태로 발전했으며, 최근에는 끈 이론에서 발생하는 문제에도 응용되고 있다.

들리뉴는 1970년부터 1984년까지 IHÉS의 종신 연구원으로 재직하며 대수기하학 외에도 많은 중요한 연구를 수행했다.

3.2. 프린스턴 고등연구소에서의 활동

1984년, 들리뉴는 미국 프린스턴에 위치한 프린스턴 고등연구소로 자리를 옮겨 연구 활동을 이어갔다. 이 기간 동안 그는 베유 추측 증명과 혼합 호지 구조 이론의 도입 등 그의 가장 유명한 업적들을 마무리하고 발표했다.

4.1. 베유 추측 증명

들리뉴의 가장 유명한 업적은 앙드레 베유가 제시한 베유 추측을 1973년에 완전히 증명한 것이다. 이 증명은 알렉산더 그로텐디크가 10년 이상에 걸쳐 시작하고 대부분 발전시킨 방대한 연구 프로그램을 완성한 것이었다.

들리뉴의 증명은 프로베니우스 자기동형사상의 고유값에 대한 추정치를 제공했는데, 이는 리만 가설의 기하학적 유사체로 간주된다. 이 추정치는 하드 렙셰츠 정리와 고전적인 지수합의 새로운 추정치를 비롯한 여러 응용으로 이어졌다. 특히, 그는 가중치가 1보다 큰 모듈러 형식에 대한 유명한 라마누잔-페터슨 추측을 증명하는 부수적인 결과를 얻었다. 가중치 1의 경우는 그가 세르와의 공동 연구에서 이미 증명한 바 있다.

1974년에 발표된 들리뉴의 논문은 베유 추측의 첫 번째 증명을 담고 있으며, 1980년 논문에서는 리만 가설의 훨씬 더 일반적인 버전을 제시했다. 들리뉴가 베유 추측을 조기에 해결하자, 자신의 프로그램이 "포기(매장)"되었다고 느낀 그로텐디크는 들리뉴를 강하게 비난하기도 했다. 그러나 들리뉴는 1988년에 그로텐디크의 60세 기념 논문집을 출간하는 등 화해를 위한 노력을 기울였다.

4.2. 호지 이론 및 동기 (Motives)

들리뉴는 그로텐디크 연구 프로그램의 일부를 완성하는 차원에서, 아직 미완성이며 대부분 추측에 머물러 있는 모티브 이론의 대용물로서 절대 호지 사이클을 정의했다. 이 아이디어는 호지 추측에 대한 지식이 부족한 상황에서도 일부 응용을 가능하게 했다.

그는 고전적인 호지 이론을 일반화하는 강력한 대수기하학 도구인 혼합 호지 구조 이론을 창안했다. 이는 가중치 여과(weight filtration), 히로나카 헤이스케의 특이점 해소 등 여러 방법을 적용하여 이루어졌으며, 이 이론을 통해 베유 추측을 증명할 수 있었다.

또한, 들리뉴는 1990년 "그로텐디크 페스트슈리프트(Grothendieck Festschrift)"에 실린 논문에서 벡의 모나드성 정리를 사용하여 단나카 범주 이론을 재정립했다. 단나카 범주 개념은 궁극적인 베유 코호몰로지 이론으로서 모티브 이론의 선형성을 범주론적으로 표현한 것이다. 이 모든 작업은 호지 이론과 l-진 갈루아 표현을 통합하는 "가중치의 요가(yoga of weights)"의 일부를 이룬다. 시무라 다양체 이론은 이러한 다양체가 단지 좋은 (산술적으로 흥미로운) 호지 구조의 패밀리뿐만 아니라 실제 모티브를 매개변수화해야 한다는 아이디어와 관련이 있다. 이 이론은 아직 완성되지 않았으며, 최근에는 K-이론 접근법이 사용되고 있다.

4.3. 모듈라이 공간 및 대수적 스택

들리뉴는 데이비드 멈퍼드와의 공동 연구를 통해 곡선에 대한 모듈라이 공간의 새로운 설명을 발전시켰다. 이들의 연구는 대수적 스택(Deligne-Mumford stacks) 이론의 중요한 기초를 제공했으며, 최근에는 끈 이론에서 발생하는 문제에도 적용되고 있다.

4.4. 표현론 및 대수군

들리뉴는 조지 루스티그와의 공동 연구를 통해 에탈 코호몰로지를 리 군 유형의 유한군의 표현을 구성하는 데 적용하는 방법을 찾아냈다. 이 들리뉴-루스티그 이론은 대수적 군의 표현론 분야에서 중요한 업적으로 평가받으며, 기하학적인 기약 표현의 구성과 분류에 기여했다.

4.5. 기타 주요 연구

들리뉴는 위에서 언급된 주요 업적 외에도 다양한 분야에서 중요한 수학적 연구 성과를 남겼다.

• 퍼버스 시브(Perverse sheaves)**: 알렉산더 베일린슨, 조지프 번스타인, 오퍼 개버와 함께 퍼버스 시브 이론에 결정적인 기여를 했다. 이 이론은 응오 바오 짜우의 근본 보조정리 증명에서 중요한 역할을 했으며, 들리뉴 자신도 힐베르트의 21번째 문제를 고차원으로 확장한 리만-힐베르트 대응의 본질을 명확히 하는 데 이 이론을 사용했다.
• 리만-힐베르트 대응**: 들리뉴의 논문에 앞서 조그만 멥쿠트의 1980년 논문과 카시와라 마사키의 D-모듈 이론을 통한 연구가 이미 발표된 바 있다.
• 복소 미분 기하학**: 1974년 IHÉS에서 필립 그리피스, 존 모건, 데니스 설리번과 공동으로 발표한 콤팩트 켈러 다양체의 실수 호모토피 이론에 대한 논문은 복소 미분 기하학의 주요 업적으로, 고전적 및 현대적 중요성을 지닌 여러 중요한 질문들을 해결했다. 이 연구에는 베유 추측, 호지 이론, 호지 구조의 변형, 그리고 많은 기하학적 및 위상학적 도구들이 결정적으로 활용되었다.
• 복소 특이점 이론**: 그의 복소 특이점 이론 연구는 밀너 사상을 대수적 설정으로 일반화하고 피카르-렙셰츠 공식을 일반적인 형태를 넘어 확장하여 이 분야의 새로운 연구 방법을 제시했다.
• 산술 기하학**: 켄 리베트와의 공동 연구는 아벨 L-함수와 이를 힐베르트 모듈러 곡면 및 p-진 L-함수로 확장하는 중요한 산술 기하학 연구를 형성한다.
• 기타 중요한 연구**: 코호몰로지적 하강(cohomological descent) 개념, 모티브 L-함수, 혼합 시브(mixed sheaves), 근접 소멸 주기(vanishing cycles), 환원군의 중심 확장, 꼬임군의 기하학과 위상수학, 시무라 다양체의 현대적인 공리적 정의, 조지 모스토와의 공동 연구 (비산술적 격자의 예시 및 2차원 및 3차원 복소 쌍곡 공간에서의 초기하 미분 방정식의 모노드로미 등), 두 변형 양자화 사이의 상대 코호몰로지 도입, 들리뉴-세르 정리, 들리뉴-카즈단 자취 공식, 들리뉴-모스토 분류, 들리뉴 코호몰로지의 구성, 다중 제타 값과 모티브의 연관성 등 수많은 업적을 남겼다.