베르나르트 볼차노

1.1. 출생과 가족

볼차노는 1781년 10월 5일 보헤미아 왕국의 프라하에서 태어났다. 그의 부모는 독실한 로마 가톨릭 신자였다. 아버지 베르나르트 폼페이우스 볼차노(Bernard Pompeius Bolzano^독일어)는 이탈리아 북부 출신의 상인으로 프라하로 이주해 왔다. 어머니 마리아 체칠리아 마우러(Maria Cecilia Maurer^독일어)는 프라하의 독일어 사용 상인 가문 출신이었다. 볼차노는 12명의 자녀 중 단 2명만이 성인이 될 때까지 살아남은 가정에서 자랐다.
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1.2. 학업과 초기 경력

볼차노는 10세 때인 1791년부터 1796년까지 프라하의 피아리스트 김나지움(Gymnasium^독일어)에 다녔다. 1796년에는 프라하 대학교에 입학하여 수학, 철학, 물리학을 공부했다. 1800년부터는 신학 공부도 시작하여 1804년 가톨릭 사제로 서품되었다. 같은 해 그는 『초등 기하학의 몇몇 대상에 대한 고찰』(Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie^독일어)이라는 논문으로 박사 학위를 취득했다. 이 시기부터 그는 이마누엘 칸트의 물자체 개념에 대한 비판적 입장을 명확히 하기 시작했다. 1805년에는 프라하 대학교에 신설된 종교 철학 교수직에 임명되었다. 그는 종교뿐만 아니라 철학 분야에서도 인기 있는 강사였으며, 1818년에는 철학 학부 학장으로 선출되었다.

2.1. 사제직과 종교학 교수

볼차노는 1804년 사제 서품을 받은 후, 1805년부터 프라하 대학교에서 종교학 및 철학 교수로 재직했다. 그는 종교와 철학 분야에서 모두 인기 있는 강사였으며, 1818년에는 철학 학부 학장으로 선출될 정도로 학내에서 존경받는 인물이었다. 그러나 그의 강의 내용에는 당시 체코에서 금지되었던 계몽주의적 사상이 담겨 있었고, 이는 곧 궁정의 주목을 받게 되었다.

2.2. 사회 및 정치적 견해

볼차노는 군국주의가 사회적 낭비이며 전쟁이 불필요하다고 가르치면서 많은 교수진과 교회 지도자들의 반감을 샀다. 그는 국가 간의 무력 충돌보다는 평화를 지향하는 방향으로 국가의 이익을 이끌어갈 교육, 사회, 경제 시스템의 전면적인 개혁을 촉구했다. 그의 이러한 정치적 신념은 오스트리아 제국 당국에는 너무나 자유주의적으로 비쳤다. 그는 사회 정의와 인도주의적 관점에서 체코 독립 운동에 가담했다는 이유로 고발당하기도 했다.

2.3. 권위와의 충돌 및 추방

볼차노는 자신의 신념을 철회하라는 요구를 거부했고, 결국 1819년 12월 24일 교수직에서 해임되었다. 그는 시골로 추방되어 사회, 종교, 철학, 수학 분야의 저술 활동에 전념했다. 추방 조건으로 주류 학술지에 글을 발표하는 것이 금지되었음에도 불구하고, 볼차노는 자신의 사상을 계속 발전시켜 독자적으로 출판하거나 잘 알려지지 않은 동유럽 학술지에 글을 실었다. 1821년에는 어머니가 사망하는 불행을 겪기도 했다. 1823년에는 프라하의 상인 부인인 안나 호프만(Anna Hoffmann^독일어)을 만나게 되는데, 그녀는 1842년 사망할 때까지 볼차노에게 경제적, 정신적 지원을 아끼지 않아 그가 연구를 계속할 수 있도록 도왔다. 이러한 지원 덕분에 그는 대학을 떠난 후에도 개인으로서 철학과 수학 연구에 몰두할 수 있었다. 그는 1842년에 프라하로 돌아왔고, 1848년에 사망했다.

3.1. 해석학의 엄밀성

볼차노는 수학적 해석학의 기초에 완전히 엄밀한 극한의 ε-δ 정의를 도입하는 데 기여했다. 그는 실수의 최소 상한 성질을 최초로 인식한 인물이었다. 그는 당시 다른 많은 이들처럼 고트프리트 라이프니츠의 무한소 개념에 대해 회의적이었는데, 무한소는 미적분학의 초기 기반으로 여겨졌다. 볼차노의 극한 개념은 현대적인 개념과 유사했다. 즉, 극한은 무한소 사이의 관계가 아니라, 독립 변수가 어떤 다른 확정된 양에 접근함에 따라 종속 변수가 확정된 양에 어떻게 접근하는지로 정의되어야 한다고 보았다.

3.2. 주요 정리와 증명

볼차노는 카를 프리드리히 가우스가 기하학적 고려를 통해 처음 증명했던 대수학의 기본 정리에 대한 최초의 순수 해석적 증명을 제시했다. 또한 그는 중간값 정리(intermediate value theorem^영어, 볼차노 정리라고도 알려져 있음)에 대한 최초의 순수 해석적 증명을 제공했다. 오늘날 그는 주로 볼차노-바이어슈트라스 정리로 기억되는데, 이 정리는 카를 바이어슈트라스가 볼차노의 첫 증명보다 수년 후에 독립적으로 개발하고 발표했으며, 볼차노의 초기 업적이 재발견되기 전까지는 바이어슈트라스 정리로 불렸다.

4.1. 지식학 (Wissenschaftslehre)

볼차노의 1837년 저서 『지식학』은 모든 과학에 대한 논리적 기초를 제공하려는 시도였다. 그는 부분-관계, 추상적 대상, 속성, 문장 형태, 그 자체로의 관념, 그 자체로의 명제, 부분학, 합, 집합, 집합체, 실체, 부착물, 주관적 관념, 판단, 문장 발생 등 추상적인 개념들을 기반으로 이론을 구축했다. 이러한 시도는 그의 초기 수학 철학 사상의 확장으로, 예를 들어 1810년의 『기여』(Beyträge^독일어)에서 그는 논리적 결과들 사이의 객관적인 관계와 이러한 연결에 대한 우리의 주관적인 인식 사이의 구별을 강조했다. 볼차노에게는 우리가 자연적 또는 수학적 진리에 대한 단순한 '확인'을 하는 것만으로는 충분하지 않았다. 오히려 순수 과학과 응용 과학 모두의 적절한 역할은 우리의 직관에 명백하게 보이거나 보이지 않을 수 있는 근본적인 진리 측면에서 '정당화'를 추구하는 것이었다.

볼차노는 『지식학』을 '이론 과학'이 무엇을 의미하는지, 그리고 우리의 지식, 진리, 과학 사이의 관계를 설명하는 것으로 시작한다. 그는 인간 지식이란 인간이 알고 있거나 알았던 모든 진리(또는 참된 명제)로 구성된다고 말한다. 그러나 이것은 존재하는 모든 진리 중 극히 일부에 불과하며, 한 인간이 이해하기에는 여전히 너무 많다. 따라서 우리의 지식은 더 접근하기 쉬운 부분들로 나뉜다. 이러한 진리들의 집합을 볼차노는 '과학'(Wissenschaft^독일어)이라고 부른다. 과학의 모든 참된 명제가 인간에게 알려져야 하는 것은 아니라는 점이 중요하다. 따라서 이것이 우리가 과학에서 발견을 할 수 있는 방법이다.

과학의 진리들을 더 잘 이해하고 파악하기 위해 인간은 '교과서'(Lehrbuch^독일어)를 만들었는데, 물론 이 교과서에는 인간에게 알려진 과학의 참된 명제들만 담겨 있다. 그러나 우리의 지식을 어디에서 나눌지, 즉 어떤 진리들이 함께 속하는지를 어떻게 알 수 있을까? 볼차노는 우리가 궁극적으로는 어떤 성찰을 통해 이를 알게 될 것이며, 지식을 과학으로 나누는 결과적인 규칙들 자체가 하나의 과학이 될 것이라고 설명한다. 어떤 진리들이 함께 속하며 교과서에서 설명되어야 하는지를 알려주는 이 과학이 바로 『지식학』(Wissenschaftslehre^독일어)이다.

4.2. 논리적 실재론과 형이상학

『지식학』에서 볼차노는 주로 세 가지 영역에 관심을 기울인다.

• 언어의 영역: 단어와 문장으로 구성된다.
• 사고의 영역: 주관적인 관념과 판단으로 구성된다.
• 논리의 영역: 객관적인 관념(또는 그 자체로의 관념)과 그 자체로의 명제로 구성된다.

볼차노는 『지식학』의 상당 부분을 이러한 영역들과 그 관계를 설명하는 데 할애한다. 그의 체계에서는 두 가지 구분이 중요한 역할을 한다. 첫째, 부분학적 부분과 전체의 구분이다. 예를 들어, 단어는 문장의 부분이고, 주관적인 관념은 판단의 부분이며, 객관적인 관념은 그 자체로의 명제의 부분이다. 둘째, 모든 대상은 '존재하는' 것과 존재하지 않는 것으로 나뉜다. 존재하는 것은 인과적으로 연결되어 있으며 시간 및/또는 공간에 위치한다. 볼차노의 독창적인 주장은 논리적 영역은 후자의 종류의 대상들로 채워져 있다는 것이다.

'그 자체로의 명제'(Satz an Sich^독일어)는 볼차노의 『지식학』에서 기본적인 개념이다. 이는 19절에서 처음 도입된다. 볼차노는 먼저 명제(말해지거나 쓰이거나 생각되거나 그 자체로의 명제)와 관념(말해지거나 쓰이거나 생각되거나 그 자체로의 관념)의 개념을 도입한다. "풀은 초록색이다"는 명제이다. 이 단어들의 연결 속에서 무언가가 말해지거나 주장된다. 그러나 "풀"은 단지 관념(Vorstellung^독일어)일 뿐이다. 그것에 의해 무언가가 표현되지만, 아무것도 주장하지 않는다. 볼차노의 명제 개념은 상당히 넓다. "직사각형은 둥글다"는 명제인데, 비록 자기모순 때문에 거짓일지라도, 이해 가능한 부분들로 이해 가능한 방식으로 구성되었기 때문이다.

볼차노는 '그 자체로의 명제'에 대한 완전한 정의를 제공하지 않지만, 그가 무엇을 의미하는지 이해하기에 충분한 정보를 제공한다. 그 자체로의 명제는 (i) 존재하지 않으며(즉, 시간이나 공간에 위치하지 않음), (ii) 누군가가 그것이 참인지 거짓인지 알거나 생각하는 것과 무관하게 참이거나 거짓이며, (iii) 사고하는 존재에 의해 '파악되는' 것이다. 따라서 쓰인 문장('소크라테스는 지혜를 가졌다')은 그 자체로의 명제, 즉 [소크라테스는 지혜를 가졌다]는 명제를 파악한다. 쓰인 문장은 존재하지만(특정 시간에 특정 위치를 가짐, 예를 들어 지금 이 순간 당신의 컴퓨터 화면에 있음) 그 자체로의 영역(즉, an sich^독일어)에 있는 그 자체로의 명제를 표현한다. (볼차노의 an sich^독일어 용어 사용은 칸트의 사용과 크게 다르다.)

모든 그 자체로의 명제는 그 자체로의 관념들로 구성된다. (간단히 '명제'는 "그 자체로의 명제"를, '관념'은 객관적인 관념 또는 그 자체로의 관념을 의미한다.) 관념은 명제 자체가 아닌 명제의 부분으로 부정적으로 정의된다. 명제는 최소한 세 가지 관념으로 구성되는데, 즉 주어 관념, 술어 관념, 그리고 계사('가지다' 또는 '가지다'의 다른 형태)이다. (명제를 포함하는 명제도 있지만, 지금은 고려하지 않는다.)

볼차노는 특정 유형의 관념을 식별한다. 부분 없는 단순 관념이 있지만(예를 들어 볼차노는 [무언가]를 사용한다), 다른 관념들로 구성된 복합 관념도 있다(볼차노는 [아무것도 아님]의 예를 사용하는데, 이는 [아님]과 [무언가]라는 관념들로 구성된다). 복합 관념은 내용이 같을 수 있지만(즉, 같은 부분들로 구성될 수 있지만) 동일하지 않을 수 있다. 왜냐하면 그 구성 요소들이 다르게 연결될 수 있기 때문이다. [파란 잉크가 있는 검은 펜]이라는 관념은 [검은 잉크가 있는 파란 펜]이라는 관념과 다르지만, 두 관념의 부분들은 동일하다.

관념이 대상을 가질 필요는 없다는 점을 이해하는 것이 중요하다. 볼차노는 '대상'을 관념에 의해 표현되는 무언가를 지칭하는 데 사용한다. 대상을 가진 관념은 그 대상을 표현한다. 그러나 대상을 가지지 않는 관념은 아무것도 표현하지 않는다. (용어에 혼란을 느끼지 말라: 대상 없는 관념은 표현이 없는 관념이다.)

더 자세한 설명을 위해 볼차노가 사용한 예를 살펴보자. [둥근 사각형]이라는 관념은 대상을 가지지 않는다. 왜냐하면 표현되어야 할 대상이 자기모순적이기 때문이다. 다른 예는 [아무것도 아님]이라는 관념인데, 이것은 분명히 대상을 가지지 않는다. 그러나 [둥근 사각형의 관념은 복잡성을 가진다]는 명제는 주어 관념으로 [둥근 사각형의 관념]을 가진다. 이 주어 관념은 대상을 가지는데, 즉 [둥근 사각형]이라는 관념이다. 그러나 그 관념은 대상을 가지지 않는다.

대상 없는 관념 외에도, 단 하나의 대상을 가지는 관념도 있다. 예를 들어, [달에 처음 간 사람]이라는 관념은 단 하나의 대상만을 표현한다. 볼차노는 이러한 관념을 '단수 관념'이라고 부른다. 분명히 많은 대상을 가지는 관념(예: [암스테르담 시민들])과 심지어 무한히 많은 대상을 가지는 관념(예: [소수])도 존재한다.

볼차노는 우리가 사물을 어떻게 감각하는지에 대한 복잡한 이론을 가지고 있다. 그는 '직관'(Anschauung^독일어)이라는 용어를 통해 감각을 설명한다. 직관은 단순 관념이며, 단 하나의 대상(Einzelvorstellung^독일어)만을 가지지만, 그 외에도 독특하다(볼차노는 감각을 설명하기 위해 이것이 필요하다). 직관(Anschauungen^독일어)은 객관적인 관념이며, '그 자체로의' 영역에 속한다. 이는 그것들이 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 볼차노의 직관에 대한 논증은 감각에 대한 설명을 통해 이루어진다.

예를 들어 장미와 같은 실제 존재하는 대상을 감각할 때 일어나는 일은 다음과 같다. 장미의 향기와 색깔 같은 다양한 측면들이 당신 안에서 변화를 일으킨다. 그 변화는 장미를 감각하기 전과 후에 당신의 마음이 다른 상태에 있다는 것을 의미한다. 따라서 감각은 사실 당신의 정신 상태의 변화이다. 이것이 대상과 관념과 어떻게 관련될까? 볼차노는 당신의 마음속에서 일어나는 이 변화가 본질적으로 단순 관념(Vorstellung^독일어)이며, 예를 들어 '이 냄새'(이 특정 장미의 냄새)와 같다고 설명한다. 이 관념은 대상을 표현한다. 즉, 변화를 대상으로 가진다. 단순할 뿐만 아니라 이 변화는 또한 독특해야 한다. 왜냐하면 말 그대로 같은 경험을 두 번 할 수 없으며, 두 사람이 같은 장미를 동시에 맡더라도 그 냄새에 대해 정확히 같은 경험을 할 수 없기 때문이다(비록 매우 유사할지라도). 따라서 각각의 단일 감각은 특정 변화를 대상으로 하는 단일하고(새로운) 독특하며 단순한 관념을 유발한다. 이제 당신의 마음속에 있는 이 관념은 주관적인 관념으로, 특정 시간에 당신 안에 존재한다는 것을 의미한다. 그것은 존재한다. 그러나 이 주관적인 관념은 객관적인 관념과 일치하거나 그 내용을 가져야 한다. 여기서 볼차노는 직관(Anschauungen^독일어)을 도입한다. 직관은 감각으로 인한 변화에 대한 우리의 주관적인 관념에 해당하는 단순하고 독특하며 객관적인 관념이다. 따라서 각각의 가능한 단일 감각에 대해 해당하는 객관적인 관념이 존재한다. 전체 과정은 다음과 같다. 장미 향기를 맡을 때마다 그 향기가 당신 안에서 변화를 일으킨다. 이 변화는 그 특정 냄새에 대한 당신의 주관적인 관념의 대상이다. 그 주관적인 관념은 직관(Anschauung^독일어)에 해당한다.

볼차노에 따르면, 모든 명제는 세 가지 (단순 또는 복합) 요소로 구성된다: 주어, 술어, 그리고 계사. 볼차노는 전통적인 계사 '이다' 대신 '가지다'를 선호한다. 그 이유는 '가지다'는 '이다'와 달리 '소크라테스'와 같은 구체적인 용어를 '대머리'와 같은 추상적인 용어와 연결할 수 있기 때문이다. 볼차노에 따르면 "소크라테스는 대머리이다"보다 "소크라테스는 대머리를 가진다"가 더 선호되는데, 후자의 형태가 더 기본적인 형태이기 때문이다. '대머리' 자체는 '어떤 것', '그것', '가지다', '대머리'라는 요소들로 구성되기 때문이다. 볼차노는 존재 명제도 이 형태로 환원시킨다. "소크라테스는 존재한다"는 단순히 "소크라테스는 존재(Dasein^독일어)를 가진다"가 된다.

볼차노의 논리 이론에서 중요한 역할을 하는 것은 '변형' 개념이다. 다양한 논리적 관계는 명제의 비논리적 부분들이 다른 것들로 대체될 때 발생하는 진리값의 변화를 통해 정의된다. 예를 들어, 논리적으로 분석적인 명제는 모든 비논리적 부분을 진리값의 변화 없이 대체할 수 있는 명제이다. 두 명제가 구성 부분 x에 대해 '양립 가능'(verträglich^독일어)하다는 것은 두 명제를 모두 참으로 만들 수 있는 최소한 하나의 용어가 삽입될 수 있다는 의미이다. 명제 Q가 명제 P로부터 특정 비논리적 부분들에 대해 '연역 가능'(ableitbar^독일어)하다는 것은 P를 참으로 만드는 그러한 부분들의 어떤 대체도 Q를 참으로 만든다는 의미이다. 만약 어떤 명제가 모든 비논리적 부분들에 대해 다른 명제로부터 연역 가능하다면, 그것은 '논리적으로 연역 가능'하다고 말한다.

연역 관계 외에도 볼차노는 '근거 부여'(Abfolge^독일어)라는 더 엄격한 관계를 가진다. 이는 참된 명제들 사이에 성립하는 비대칭 관계이며, 한 명제가 다른 명제로부터 연역 가능할 뿐만 아니라 그 다른 명제에 의해 설명될 때 발생한다.

볼차노는 일상적인 용법에서 '참'과 '진리'라는 단어가 가지는 다섯 가지 의미를 구분하며, 이 모든 의미는 문제가 없다고 본다. 이 의미들은 적절성의 순서대로 나열되어 있다.
# 추상적 객관적 의미: '진리'는 명제, 주로 그 자체로의 명제에 적용될 수 있는 속성을 의미한다. 즉, 명제가 현실에서 표현된 바와 같이 존재하는 어떤 것을 표현하는 속성이다. 반의어: '거짓', '허위'.
# 구체적 객관적 의미: (a) '진리'는 추상적 객관적 의미에서 '진리' 속성을 가진 명제를 의미한다. 반의어: (a) '허위'.
# 주관적 의미: (a) '진리'는 올바른 판단을 의미한다. 반의어: (a) '실수'.
# 집합적 의미: '진리'는 참된 명제나 판단들의 집합 또는 다수(예: 성경적 진리)를 의미한다.
# 부적절한 의미: '참'은 어떤 대상이 어떤 명칭이 말하는 바와 같이 현실에 존재한다는 것을 의미한다. (예: 참된 신). 반의어: '거짓', '비현실적', '환상적'.

볼차노의 주된 관심사는 구체적 객관적 의미, 즉 구체적 객관적 진리 또는 그 자체로의 진리이다. 모든 그 자체로의 진리는 일종의 그 자체로의 명제이다. 그것들은 존재하지 않는다. 즉, 생각되거나 말해진 명제처럼 시공간적으로 위치하지 않는다. 그러나 특정 명제들은 그 자체로 진리인 속성을 가진다. 생각된 명제라는 것은 그 자체로의 진리 개념의 일부가 아니다. 비록 신의 전지성 때문에 모든 그 자체로의 진리가 생각된 진리이기도 하다는 사실에도 불구하고 말이다. '그 자체로의 진리'와 '생각된 진리'라는 개념은 동일한 대상에 적용되므로 상호 교환 가능하지만, 동일하지는 않다.

볼차노는 『지식학』 31-32절에서 세 가지를 증명한다.
A. 적어도 하나의 그 자체로의 진리가 존재한다(구체적 객관적 의미):
1. 참된 명제는 없다(가정)
2. 1.은 명제이다(명백함)
3. 1.은 참이다(가정) 그리고 거짓이다(1. 때문에)
4. 1.은 자기모순적이다(3. 때문에)
5. 1.은 거짓이다(4. 때문에)
6. 적어도 하나의 참된 명제가 존재한다(1.과 5. 때문에)

B. 하나 이상의 그 자체로의 진리가 존재한다:
7. 오직 하나의 그 자체로의 진리, 즉 A는 B이다(가정)
8. A는 B는 그 자체로의 진리이다(7. 때문에)
9. A는 B 외에 다른 그 자체로의 진리는 없다(7. 때문에)
10. 9.는 참된 명제/그 자체로의 진리이다(7. 때문에)
11. 두 개의 그 자체로의 진리가 존재한다(8.과 10. 때문에)
12. 하나 이상의 그 자체로의 진리가 존재한다(11. 때문에)

C. 무한히 많은 그 자체로의 진리가 존재한다:
13. 오직 n개의 그 자체로의 진리, 즉 A는 B .... Y는 Z이다(가정)
14. A는 B .... Y는 Z는 n개의 그 자체로의 진리이다(13. 때문에)
15. A는 B .... Y는 Z 외에 다른 진리는 없다(13. 때문에)
16. 15.는 참된 명제/그 자체로의 진리이다(13. 때문에)
17. n+1개의 그 자체로의 진리가 존재한다(14.과 16. 때문에)
18. 1단계부터 5단계까지 n+1에 대해 반복될 수 있으며, 이는 n+2개의 진리 등으로 끝없이 이어진다(n은 변수이기 때문에)
19. 무한히 많은 그 자체로의 진리가 존재한다(18. 때문에)

알려진 진리는 그 자체로의 진리와 판단으로 구성된다(볼차노, 『지식학』 26절). 판단은 참된 명제를 진술하는 사고이다. 판단할 때(최소한 판단의 대상이 참된 명제일 때), 대상의 관념이 어떤 방식으로 특성의 관념과 연결된다(23절). 참된 판단에서는 대상의 관념과 특성의 관념 사이의 관계가 실제/존재하는 관계이다(28절).

모든 판단은 명제를 대상으로 가지며, 이 명제는 참이거나 거짓이다. 모든 판단은 존재하지만 "그 자체로" 존재하지는 않는다. 즉, 그 자체로의 명제와는 대조적으로 판단은 주관적인 정신 활동에 의존한다. 그러나 모든 정신 활동이 판단일 필요는 없다. 모든 판단은 명제를 대상으로 가지므로, 모든 판단은 참이거나 거짓이어야 한다. 단순한 표상이나 사고는 반드시 진술될 필요가 없는 정신 활동의 예이며, 따라서 판단이 아니다(34절).

참된 명제를 대상으로 하는 판단을 인식이라고 부를 수 있다(36절). 인식 또한 주체에 의존하므로, 그 자체로의 진리와는 달리 인식은 정도를 허용한다. 명제는 더 많이 또는 더 적게 알려질 수 있지만, 더 많이 또는 더 적게 참일 수는 없다. 모든 인식은 필연적으로 판단을 수반하지만, 모든 판단이 필연적으로 인식인 것은 아니다. 왜냐하면 참이 아닌 판단도 존재하기 때문이다. 볼차노는 거짓 인식이라는 것은 없으며, 오직 거짓 판단만이 존재한다고 주장한다(34절).

4.3. 무한의 역설

볼차노의 사후 출판된 저작 『무한의 역설』(Paradoxien des Unendlichen^독일어, 1851)은 찰스 샌더스 퍼스, 게오르크 칸토어, 리하르트 데데킨트를 포함하여 그를 계승한 많은 저명한 논리학자들로부터 큰 찬사를 받았다. 이 책은 무한의 개념에 대한 그의 독창적인 탐구를 다루며, 당시 철학적 개념으로만 다루어지던 무한 개념을 수학에도 도입하는 데 기여했다.

6.1. 수학적 유산

볼차노의 수학적 발견과 정리들은 후대에 계승되어 현대 수학 발전에 크게 기여했다. 그의 유작인 『무한의 역설』은 이후 실무한 개념의 발전에 기여했으며, 게오르크 칸토어는 볼차노를 실무한 개념의 "결정적인 옹호자"라고 부르며 높이 평가했다. 해석학 분야에서는 '볼차노-바이어슈트라스 정리'를 비롯하여 그의 이름이 붙은 여러 정리가 남아 있다. 그의 수학적 업적은 오토 슈톨츠에 의해 많은 잊혀진 논문들이 재발견되고 1881년에 재출판되면서 비로소 알려지게 되었다.

6.2. 철학적 영향력

볼차노는 생전에 '볼차노 서클'이라 불리는 친구들과 제자들에게 둘러싸여 그의 사상을 전파했지만, 그의 사상이 철학에 미친 영향은 처음에는 미미해 보였다. 그러나 그의 저작은 프란츠 브렌타노와 카지미에시 트바르도프스키의 제자였던 에드문트 후설과 트바르도프스키에 의해 재발견되었다. 그들을 통해 볼차노는 현상학과 분석 철학 모두에 형성적인 영향을 미쳤다. 후설은 자신의 저서 『논리 연구』에서 볼차노를 "고금 최대급의 논리학자"라고 평가했다. 오늘날 그는 근대 시기의 중요한 논리학자이자 수학자로 인식되고 있다.