에우제니오 칼라비

1. 개요

이탈리아 태생의 미국 수학자 에우제니오 칼라비(Eugenio Calabi^{이탈리아어})는 미분기하학과 편미분 방정식에 지대한 공헌을 한 인물입니다. 그의 학문적 여정은 1938년 이탈리아의 인종법으로 인해 가족이 미국으로 이주해야 했던 개인적인 경험과 깊이 연결되어 있습니다. 칼라비의 핵심적인 업적 중 하나는 칼라비 추측을 제안한 것으로, 이는 훗날 싱퉁 야우에 의해 증명되어 칼라비-야우 다양체 개념으로 이어졌으며, 이는 초끈 이론에서 중요한 역할을 합니다. 또한 그는 칼라비 흐름을 도입하고 라플라스 비교 정리와 몽주-앙페르 방정식 관련 연구 등 기하학적 해석학 분야에서 중요한 기여를 했습니다. 주로 펜실베이니아 대학교에서 재직하며 스티일 상 수상과 미국 국립과학원 회원 선출 등 수많은 영예를 안았습니다. 그의 광범위한 연구는 수학과 이론 물리학 모두에 지속적인 유산을 남겼습니다.

2. 초기 생애 및 배경

에우제니오 칼라비는 이탈리아 밀라노에서 유대인 가족의 일원으로 태어났습니다. 그의 어린 시절은 이탈리아의 정치적 상황으로 인해 큰 변화를 겪었습니다.

2.1. 출생 및 가족

칼라비는 1923년 5월 11일 이탈리아 밀라노에서 유대인 가족으로 태어났습니다. 그의 누나는 저널리스트인 툴리아 제비 칼라비였습니다.

2.2. 인종법으로 인한 이주

1938년, 이탈리아의 인종법으로 인해 그의 가족은 이탈리아를 떠나야 했습니다. 그들은 1939년에 미국에 도착했습니다.

2.3. 교육

1939년 가을, 불과 16세의 나이로 칼라비는 매사추세츠 공과대학교에 입학하여 화학공학을 전공했습니다. 그의 학업은 1943년 미국 군대에 징집되어 제2차 세계 대전에 참전하면서 중단되었습니다. 1946년 전역 후, 칼라비는 G.I. 법안의 지원을 받아 학사 학위를 마쳤으며, 퍼트넘 경시대회 펠로우로 선정되었습니다. 그는 1947년 일리노이 대학교 어배너-섐페인에서 수학 석사 학위를 받았고, 1950년 프린스턴 대학교에서 수학 박사 학위(Ph.D.)를 취득했습니다. 그의 박사 학위 논문 제목은 "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds"였으며, 살로몬 보크너의 지도를 받았습니다.

3. 학계 경력

칼라비는 학계에서 여러 주요 대학에서 교수직을 역임하며 활발한 연구 및 교육 활동을 펼쳤습니다.

3.1. 교수직 및 소속

1951년부터 1955년까지 루이지애나 주립대학교의 조교수로 재직했습니다. 1955년에는 미네소타 대학교로 자리를 옮겼고, 1960년에는 정교수가 되었습니다. 1964년, 칼라비는 펜실베이니아 대학교 수학과 교수로 합류했습니다. 한스 라데마허의 은퇴 후, 1968년에 펜실베이니아 대학교의 토마스 A. 스콧 수학 석좌교수로 임명되었습니다. 1994년에는 명예 교수가 되었고, 2014년에는 펜실베이니아 대학교로부터 명예 과학 박사 학위를 받았습니다.

4. 수상 및 인정

칼라비는 그의 뛰어난 학문적 업적과 공헌을 인정받아 여러 중요한 상과 명예를 수상했습니다.

학부 시절 퍼트넘 경시대회 펠로우로 선정되었습니다.
1982년, 미국 국립과학원 회원으로 선출되었습니다.
1991년, 미국 수학회로부터 르로이 P. 스틸 상을 수상했습니다. 이 상은 그의 "전역 미분 기하학, 특히 복소 미분 기하학에 대한 근본적인 연구"가 "해당 분야의 지형을 심오하게 변화시켰다"고 언급하며 수여되었습니다.
2012년, 그는 미국 수학회의 펠로우가 되었습니다.
2021년, 그는 이탈리아 공화국 공로 훈장의 코만데르(Commander) 훈장을 받았습니다.

5. 수학적 기여

칼라비는 미분 기하학 분야에 여러 중요한 기여를 했습니다. 그 외에도 맥스웰 로젠리히트와 함께 롱 라인의 정칙 버전을 구성하고, 공간 형태의 모듈라이 공간을 연구했으며, 주어진 미분 형식이 조화적일 때 계량이 어떻게 발견될 수 있는지 특성화하고, 다양한 아핀 기하학 연구를 수행했습니다. 2021년에 출판된 그의 저작집 주석에서 칼라비는 자신의 논문 "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens"를 "가장 자랑스러운" 업적으로 꼽았습니다.

5.1. 칼라비 기하학

1954년 국제 수학자 대회에서 칼라비는 켈러 다양체의 리치 곡률을 지정하는 방법에 대한 정리를 발표했습니다. 그는 나중에 자신의 증명이 연속성 방법을 통해 결함이 있음을 발견했으며, 이 결과는 칼라비 추측으로 알려지게 되었습니다. 1957년, 칼라비는 이 추측을 명제로 기술했지만, 증명이 공개적으로 불완전한 논문을 발표했습니다. 그는 문제의 모든 해가 고유하게 정의되어야 함을 완전히 증명했지만, 존재성 문제는 특정 편미분 방정식에 대한 사전 추정을 확립하는 문제로만 축소할 수 있었습니다.

1970년대에 싱퉁 야우는 칼라비 추측을 연구하기 시작했으며, 처음에는 이를 반증하려고 시도했습니다. 수년간의 연구 끝에 그는 추측의 증명을 발견했고, 그 유효성으로부터 여러 놀라운 대수 기하학적 결과들을 확립할 수 있었습니다. 추측의 특정 사례로, 리치 곡률이 0인 켈러 계량은 여러 복소 다양체에 확립되며, 이들은 현재 칼라비-야우 계량으로 알려져 있습니다. 이들은 1980년대 이후 초끈 이론 연구에서 중요해졌습니다.

1982년, 칼라비는 기하학적 흐름을 도입했는데, 이는 현재 칼라비 흐름으로 알려져 있으며, 상수 스칼라 곡률을 갖는 켈러 계량을 찾는 방법으로 제안되었습니다. 더 넓게는, 칼라비는 극단 켈러 계량의 개념을 도입했으며, (다른 결과들 중에서도) 이들이 칼라비 함수의 엄격한 전역 최소값을 제공하고, 모든 상수 스칼라 곡률 계량이 전역 최소값임을 확립했습니다. 나중에 칼라비와 천슈슝은 마부치가 도입한 계량을 광범위하게 연구했으며, 칼라비 흐름이 두 켈러 계량 사이의 마부치 거리를 수축시킨다는 것을 보였습니다. 또한 그들은 마부치 계량이 켈러 계량 공간에 비양수 곡률의 알렉산드로프 공간 구조를 부여한다는 것을 보였습니다. 이들의 연구의 기술적 어려움은 무한 차원 맥락에서 측지선이 낮은 미분 가능성을 가질 수 있다는 점이었습니다.

칼라비의 잘 알려진 구성은 곡률이 아래로 경계가 있는 헤르미트 벡터 다발의 전체 공간에 완전한 켈러 계량을 부여합니다. 기저가 완전한 켈러-아인슈타인 다양체이고 벡터 다발이 랭크 1이며 상수 곡률을 가질 경우, 전체 공간에 완전한 켈러-아인슈타인 계량을 얻습니다. 복소 공간 형태의 코탄젠트 다발의 경우, 하이퍼켈러 계량을 얻습니다. 에구치-핸슨 공간은 칼라비 구성의 특수한 경우입니다.

5.2. 기하학적 해석학

칼라비는 리만 기하학에서 라플라스 비교 정리를 발견했는데, 이는 라플라스-벨트라미 연산자를 리만 거리 함수에 적용할 때 리치 곡률과 관련시킵니다. 리만 거리 함수는 일반적으로 모든 곳에서 미분 가능하지 않으므로, 정리의 전역 버전을 공식화하는 데 어려움이 있습니다. 칼라비는 나중에 마이클 크랜달과 피에르-루이 리옹이 도입한 점성 해에 앞서 일반화된 미분 부등식 개념을 사용했습니다. 에버하르트 호프의 강한 최대 원리를 자신의 점성 해 개념으로 확장함으로써, 칼라비는 라플라스 비교 정리를 사용하여 조셉 켈러와 로버트 오서만의 최근 결과들을 리만 맥락으로 확장할 수 있었습니다. 청슈유엔과 야우 등은 나중에 최대 원리의 다른 사용법에 기반한 추가 확장들을 발견했습니다.

최소 곡면에 대한 고전적인 베른슈타인 문제와 병행하여, 칼라비는 최대 곡면에 대한 유사한 문제를 고려하여 저차원에서의 질문을 해결했습니다. 무조건적인 해답은 나중에 청과 야우가 칼라비가 리만 거리 함수의 미분 불가능성을 우회하기 위해 개척한 칼라비 트릭을 사용하여 발견했습니다. 유사한 작업에서 칼라비는 이전에 유클리드 공간 전체에 정의되고 '우변'이 1과 같은 몽주-앙페르 방정식의 볼록 해를 고려했습니다. 콘라트 예르겐스는 이전에 두 변수 함수에 대한 이 문제를 연구하여 모든 해가 이차 다항식임을 증명했습니다. 칼라비는 이 문제를 아핀 기하학의 문제로 해석함으로써, 라플라스 비교 정리에 대한 자신의 이전 작업을 적용하여 예르겐스의 작업을 일부 고차원으로 확장할 수 있었습니다. 이 문제는 나중에 알렉세이 포고렐로프에 의해 완전히 해결되었으며, 이 결과는 일반적으로 예르겐스-칼라비-포고렐로프 정리로 알려져 있습니다.

나중에 칼라비는 아핀 초구 문제를 고려했으며, 먼저 그러한 곡면들을 르장드르 변환이 특정 몽주-앙페르 방정식을 푸는 곡면으로 특징지었습니다. 예르겐스 정리를 확장하는 자신의 이전 방법을 적용하여 칼라비는 완전한 아핀 타원 초구들을 분류할 수 있었습니다. 추가 결과는 나중에 청과 야우에 의해 얻어졌습니다.

5.3. 미분 기하학

칼라비와 베노 에크만은 1953년에 칼라비-에크만 다양체를 발견했습니다. 이는 어떤 켈러 계량도 허용하지 않는 단순 연결 복소 다양체로 주목할 만합니다.

고다이라 쿠니히코의 최근 작업에 영감을 받아, 칼라비와 에도아르도 베센티니는 카르탕 영역의 콤팩트 정칙 몫의 무한소 강성을 고려했습니다. 그들은 보흐너 기법과 고다이라의 층 코호몰로지 발전을 사용하여 고차원 사례의 강성을 증명했습니다. 그들의 작업은 조지 모스토우와 그리고리 마르굴리스의 후속 작업에 영향을 미쳤는데, 이들은 칼라비와 베센티니의 무한소 강성 결과와 아틀레 셀베르그, 앙드레 베유의 관련 작업들을 이해하려는 시도에서 전역 강성 결과들을 확립했습니다.

칼라비와 로렌스 마르쿠스는 로렌츠 기하학에서 양의 곡률을 갖는 공간 형태 문제를 고려했습니다. 그들의 결과는 조셉 A. 울프가 "매우 놀랍다"고 평가했으며, 기본군이 유한해야 하고, (방향성 조건 하에서) 드 시터 시공간의 해당 등거리 변환군이 적도 구에 등거리적으로 충실하게 작용한다고 주장합니다. 따라서 그들의 공간 형태 문제는 양의 곡률을 갖는 리만 공간 형태 문제로 환원됩니다.

1950년대 존 내쉬의 작업은 등거리 매립 문제를 다루었습니다. 그의 작업은 그러한 매립이 매우 유연하고 변형 가능함을 보여주었습니다. 칼라비는 박사 학위 논문에서 이전에 복소 기하학적 공간 형태로의 정칙 등거리 매립의 특수한 경우를 고려했습니다. 그의 놀라운 결과는 그러한 매립이 본질적인 기하학과 해당 공간 형태의 곡률에 의해 완전히 결정된다는 것을 보여줍니다. 더욱이 그는 켈러 퍼텐셜로 구성되고 리만 거리 함수를 모방하는 국소적으로 정의된 함수인 분리 함수의 도입을 통해 존재성 문제를 연구할 수 있었습니다. 칼라비는 정칙 등거리 매립이 분리 함수를 보존해야 함을 증명했습니다. 결과적으로 그는 정칙 등거리 매립의 국소적 존재성에 대한 기준을 얻을 수 있었습니다.

나중에 칼라비는 원형 구면에서 2차원 최소 곡면(고차 여차원)을 연구했습니다. 그는 위상적으로 구형인 최소 곡면의 넓이가 이산적인 값 집합만을 가질 수 있으며, 곡면 자체는 특정 헤르미트 대칭 공간의 유리 곡선에 의해 분류된다는 것을 증명했습니다.

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