다니엘 베르누이

1. 개요

다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli_{다니엘 베르눌리}^독일어, 1700년 2월 8일 ~ 1782년 3월 17일)는 스위스의 저명한 수학자이자 물리학자로, 베르누이 가문의 가장 뛰어난 학자 중 한 명으로 평가받습니다. 그는 역학, 특히 유체 역학에 수학을 적용하는 데 크게 기여했으며, 확률론과 통계학 분야에서도 선구적인 업적을 남겼습니다. 그의 이름은 베르누이 원리에 길이 남아 있으며, 이 원리는 항공기 날개나 기화기와 같은 20세기 중요 기술의 작동 메커니즘을 설명하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 또한 그는 경제학 분야에서 효용 이론을 제시하며 위험 회피 개념을 도입하는 등 폭넓은 학문적 유산을 남겼습니다.

2. 생애

다니엘 베르누이의 생애는 학문적 성취와 가족 간의 복잡한 관계로 점철되어 있습니다. 그는 저명한 학자 가문에서 태어나 다양한 학문 분야를 탐구하며 당대 최고의 학자들과 교류했습니다.

2.1. 가문 및 출신 배경

다니엘 베르누이는 네덜란드의 흐로닝언에서 저명한 수학자 가문인 베르누이 가문의 일원으로 태어났습니다. 베르누이 가문은 원래 스페인령 네덜란드의 안트베르펜 출신이었으나, 개신교 박해를 피해 프랑크푸르트를 거쳐 스위스의 바젤로 이주했습니다. 그는 미적분학의 초기 개발자 중 한 명인 요한 베르누이의 아들이자, 확률론의 초기 연구자이며 수학 상수 $e$ 를 발견한 야코프 베르누이의 조카입니다. 다니엘에게는 니클라우스 2세와 요한 2세라는 두 형제가 있었으며, 이들 또한 수학자이자 물리학자가 되었습니다. W. W. 라우스 볼은 다니엘을 "젊은 베르누이 가문 중 단연코 가장 유능한 인물"이라고 평가했습니다.

2.2. 어린 시절과 교육

어린 시절 다니엘의 아버지 요한은 수학자로서의 경제적 어려움을 이유로 그에게 사업을 공부하도록 권유했습니다. 다니엘은 처음에는 거부했지만, 나중에 아버지의 뜻에 따라 사업을 공부하기 시작했습니다. 이후 아버지가 그에게 의학을 공부할 것을 요청하자, 다니엘은 아버지가 자신에게 수학을 개인 교습시켜 준다는 조건으로 동의했습니다. 그는 바젤 대학교, 하이델베르크 대학교, 스트라스부르 대학교에서 의학을 공부했으며, 1721년에는 해부학과 식물학 분야에서 박사 학위를 취득했습니다. 13세에는 바젤 대학교에서 논리학과 철학을 공부했으며, 15세에 학사 시험에 합격하고 16세에 석사 학위를 받았습니다.

2.3. 아버지와의 관계

다니엘 베르누이는 아버지 요한 베르누이와 복잡하고 긴장된 관계를 유지했습니다. 두 사람은 파리 대학교에서 열린 과학 경연대회에서 공동 1위를 차지했는데, 아버지 요한은 아들 다니엘이 자신과 동등하게 평가받는 '불명예'를 견디지 못하고 다니엘을 집에서 내쫓았다고 전해집니다. 또한 요한은 다니엘의 저서 《유체역학》(Hydrodynamica)의 핵심 아이디어를 표절하여 자신의 책 《수력학》(Hydraulica)을 집필하고, 출판 날짜를 《유체역학》보다 앞선 시점으로 조작하기도 했습니다. 다니엘이 화해를 시도했지만, 아버지는 끝내 거절하며 죽을 때까지 아들에게 앙심을 품었습니다.

3. 학문 및 직업 경력

다니엘 베르누이는 다양한 학문 분야에서 활발히 활동하며 여러 대학에서 교수직을 역임했고, 중요한 저술들을 통해 후대에 큰 영향을 미쳤습니다.

3.1. 교수직 및 초기 저술

1724년, 다니엘 베르누이는 형 니클라우스 2세와 함께 상트페테르부르크의 러시아 과학 아카데미 수학과 교수로 부임했습니다. 그러나 니클라우스 2세는 8개월 만에 사망했고, 다니엘은 그곳에서의 삶에 불행을 느꼈습니다. 일시적인 질병, 러시아 정교회의 검열, 그리고 급여 문제 등으로 인해 그는 1733년에 상트페테르부르크를 떠났습니다. 이후 그는 바젤 대학교로 돌아와 사망할 때까지 의학, 형이상학, 자연철학 교수를 차례로 역임했습니다. 1750년부터 1766년까지는 16년간 물리학을 가르쳤습니다.

그의 가장 초기 수학 저술은 크리스티안 골드바흐의 도움으로 1724년에 출판된 《수학 연습문제》(Exercitationes)였습니다. 2년 후 그는 복합 운동을 병진 운동과 회전 운동으로 분해하여 해결하는 것이 바람직하다는 점을 처음으로 지적했습니다. 또한 베네치아에서는 항해용 모래시계를 설계하여 1725년 파리 아카데미상을 수상하기도 했습니다.

3.2. 오일러와의 협력

다니엘 베르누이는 당대 최고의 수학자 중 한 명인 레온하르트 오일러와 동시대인이자 절친한 친구였습니다. 오일러는 1727년 요한 베르누이의 주선으로 상트페테르부르크 아카데미로 옮겨왔습니다. 두 사람은 1733년까지 생산적인 연구 협력을 이어갔으며, 현수선, 진동하는 현, 경제 이론에 대한 확률 적용, 그리고 《유체역학》 집필 등 다양한 분야에서 공동 연구를 수행했습니다. 다니엘이 상트페테르부르크를 떠난 후에도 두 사람은 평생 동안 긴밀한 학문적 교류를 유지했습니다.

3.3. 주요 저서

다니엘 베르누이의 주요 저서는 1738년에 출판된 《유체역학》(Hydrodynamica)입니다. 이 책은 조제프루이 라그랑주의 《해석 역학》(Mécanique Analytique)과 유사하게 모든 결과가 단일한 원리, 즉 에너지 보존 법칙에서 도출되도록 구성되어 있습니다. 이 저서에는 기체 운동론의 기초가 되는 내용과 보일의 법칙에 대한 설명이 포함되어 있습니다.

그는 또한 조수 이론에 관한 논문을 발표했는데, 이 논문은 오일러와 콜린 매클로린의 논문과 함께 프랑스 아카데미 상을 공동 수상했습니다. 이 세 논문은 아이작 뉴턴의 《자연철학의 수학적 원리》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 출판 이후부터 피에르시몽 라플라스의 연구가 시작되기 전까지 조수 이론에 관한 모든 중요한 연구를 담고 있습니다. 또한 그는 진동하는 현 문제와 브룩 테일러, 장 르 롱 달랑베르의 해법을 다루는 등 다양한 역학적 문제에 관한 수많은 논문을 집필했습니다. 이 외에도 1737년 파리 아카데미상을 수상한 논문 모음집인 《1737년 왕립 과학 아카데미의 이중상을 수상한 논문들》(Pieces qui ont remporté le Prix double de l'Academie royale des sciences en 1737)을 저술했습니다.

4. 물리학 기여

다니엘 베르누이는 물리학, 특히 유체 역학 및 역학 분야에서 혁신적인 기여를 했습니다.

4.1. 유체 역학 및 베르누이 원리

다니엘 베르누이는 1738년 저서 《유체역학》에서 기체 운동론의 기초를 다지고 이를 통해 보일의 법칙을 설명했습니다. 그는 오일러와 함께 액체의 흐름, 특히 혈액의 흐름 속도와 혈압 간의 관계를 연구했습니다. 다니엘은 액체가 흐르는 관의 벽에 작은 구멍을 뚫고 빨대를 꽂으면 액체가 빨대를 따라 솟아오르는 높이가 관 내부 유체의 압력과 관련된다는 것을 발견했습니다. 이 방법은 1896년 이탈리아의 한 의사가 덜 고통스러운 방법을 발견하기 전까지 170년 동안 환자의 혈압을 측정하는 데 사용되었습니다. 베르누이의 압력 측정 방법은 오늘날에도 항공기에서 공기 속도를 측정하는 데 여전히 사용됩니다.

그는 움직이는 유체에서 압력과 운동 에너지가 교환되는 베르누이 원리를 발견했으며, 이를 수학적으로 $\tfrac12 \rho u^2 + P = \text{constant}$ 로 표현했습니다. 여기서 P는 압력, ρ는 유체의 밀도, u는 속도입니다. 이 원리는 유체의 속도가 증가하면 압력이 감소하고, 반대로 속도가 감소하면 압력이 증가한다는 것을 설명합니다. 베르누이 원리는 압축성 및 비압축성 유체 흐름 모두에 적용됩니다. 이후 오일러가 베르누이 원리를 베르누이 방정식으로 정교화했습니다. 이 원리는 공기역학에서 매우 중요하며, 항공기 날개(공기 속도와 압력에 맞춰 조정), 기화기, 드 라발 노즐 등에 응용됩니다.

4.2. 기타 물리학적 기여

다니엘 베르누이는 오일러와 함께 탄성과 오일러-베르누이 보 방정식의 개발에 기여했습니다. 이 방정식은 보의 하중 지지 및 굽힘을 계산하는 데 사용됩니다. 그는 또한 진동하는 현에 대한 많은 논문을 작성했으며, 브룩 테일러와 장 르 롱 달랑베르가 제시한 해법을 다루었습니다. 레옹 브릴루앵에 따르면, "진동계의 일반적인 움직임은 여러 고유 진동의 중첩으로 구성된다"는 중첩 원리는 1753년 다니엘 베르누이에 의해 처음 제시되었습니다. 그는 또한 반동을 이용한 선박 추진 개념을 제안하기도 했습니다.

5. 경제학 및 통계학 기여

다니엘 베르누이는 자연 과학 분야 외에도 경제학 및 통계학 분야에 선구적인 공헌을 했습니다.

5.1. 위험 회피 및 효용 이론

1738년 저서 《위험의 측정에 관한 새 이론의 설명》(Specimen theoriae novae de mensura sortis)에서 베르누이는 상트페테르부르크의 역설에 대한 해답을 제시하며 위험 회피, 위험 할증, 그리고 효용에 관한 경제 이론의 기초를 마련했습니다. 그는 불확실성을 수반하는 결정을 내릴 때 사람들이 종종 가능한 금전적 이득을 최대화하기보다는 개인적인 만족과 이익을 포괄하는 경제 용어인 "효용"을 최대화하려고 한다는 것을 발견했습니다. 그는 인간에게 있어 돈과 효용 사이에는 직접적인 관계가 있지만, 금전적 이득이 증가함에 따라 그 관계에서 얻는 효용이 점차 감소한다는 것을 깨달았습니다. 예를 들어, 연소득이 1.00 만 USD인 사람에게 추가적인 100 USD의 소득은 연소득이 5.00 만 USD인 사람에게보다 더 큰 효용을 제공할 것입니다.

다니엘 베르누이는 다음과 같이 말했습니다.
"크건 작건 간에 부의 증가에서 비롯되는 만족감은 이전에 소유하던 재화의 양에 반비례한다."
"인간의 본성을 고려해 보건대, 앞서 언급한 가정이 많은 사람들에게 유효한 것 같다. 이런 식의 비교 개념이 적용될 수 있는 사람이 많다는 뜻이기도 하다."

이러한 개념은 오늘날 한계 효용 체감의 법칙으로 알려져 있으며, 100년 이상 후에 윌리엄 스탠리 제번스에 의해 베르누이와는 독립적으로 정립되었습니다. 기대 효용 이론은 200년 후 출판된 수학자 존 폰 노이만과 경제학자 오스카르 모겐슈테른의 대작 《게임 이론과 경제 행동》(1944년)에서 완전히 복권되었습니다.