고틀로프 프레게

1.1. 어린 시절과 배경

고틀로프 프레게는 1848년 11월 8일 메클렌부르크슈베린 대공국의 비스마르에서 태어났다. 그의 아버지 카를 알렉산더 프레게(1809-1866)는 여자 고등학교의 공동 설립자이자 교장이었으며, 9세에서 13세 아동을 위한 독일어 교과서인 《9세에서 13세 아동을 위한 독일어 교육 보조서》를 저술했는데, 이 책의 첫 부분은 언어의 구조와 논리를 다루고 있어 어린 프레게가 언어와 논리에 대한 관심을 갖게 하는 데 영향을 주었다. 프레게는 루터교 신자였다.

아버지의 사망 후 학교는 어머니 아우구스테 빌헬미네 소피 프레게(1815-1898)가 이끌었다. 그의 어머니는 폴란드 귀족 가문의 후손인 요한 하인리히 지그프리트 비알로블로츠키의 딸로, 필리프 멜란히톤의 후손이기도 했다.

프레게는 비스마르의 김나지움인 그로세 슈타트슐레 비스마르에서 공부했으며 1869년에 졸업했다. 그의 수학 및 자연과학 교사였던 구스타프 아돌프 레오 작세(1843-1909)는 프레게의 학문적 진로를 결정하는 데 중요한 역할을 했으며, 그가 자신의 모교인 예나 대학교에서 학업을 계속하도록 격려했다.

1.2. 교육

프레게는 1869년 봄 북독일 연방 시민으로서 예나 대학교에 입학했다. 그는 4학기 동안 약 20개의 강의를 수강했는데, 대부분 수학과 물리학 과목이었다. 그의 가장 중요한 스승은 물리학자, 수학자, 발명가인 에른스트 카를 아베(1840-1905)였다. 아베는 중력 이론, 갈바니즘과 전자기학, 복소 변수 함수의 복소 해석학, 물리학의 응용, 역학의 일부 분야, 고체 역학에 대한 강의를 진행했다. 아베는 프레게에게 단순한 스승 이상으로 신뢰할 수 있는 친구였으며, 광학 제조업체인 칼 자이스 AG의 이사로서 프레게의 경력을 발전시킬 수 있는 위치에 있었다. 프레게가 졸업한 후 그들은 더욱 긴밀하게 교류했다.

그의 다른 주목할 만한 대학 교수로는 크리스티안 필리프 카를 스넬(1806-1886, 기하학에서의 미적분학 사용, 평면의 해석 기하학, 해석 역학, 광학, 역학의 물리적 기초), 헤르만 카를 율리우스 트라우고트 셰퍼(1824-1900, 해석 기하학, 응용 물리학, 대수 해석학, 전신 및 기타 전자 기계), 그리고 철학자 쿠노 피셔(1824-1907, 칸트 철학 및 비판 철학)가 있었다.

1871년부터 프레게는 독일어권 지역에서 수학 분야의 선도적인 대학이었던 괴팅겐 대학교에서 학업을 계속했다. 그곳에서 그는 루돌프 프리드리히 알프레드 클렙슈(1833-1872, 해석 기하학), 에른스트 크리스티안 율리우스 셰링(1824-1897, 함수 이론), 빌헬름 에두아르트 베버(1804-1891, 물리 연구, 응용 물리학), 에두아르트 리케(1845-1915, 전기 이론), 그리고 헤르만 로체(1817-1881, 종교 철학)의 강의를 수강했다. 성숙한 프레게의 많은 철학적 교리들은 로체의 사상과 유사점을 가지고 있으며, 로체의 강의 수강이 프레게의 견해에 직접적인 영향을 미 미쳤는지에 대해서는 학문적 논쟁의 대상이 되어왔다.

1873년 프레게는 에른스트 크리스티안 율리우스 셰링의 지도 아래 "평면의 허수 형태의 기하학적 표현에 대하여"라는 제목의 논문으로 박사 학위를 취득했다. 이 논문에서 그는 사영 기하학의 무한 원점(허수점)의 수학적 해석과 같은 기하학의 근본적인 문제들을 해결하고자 했다.

1.3. 결혼과 가족

프레게는 1887년 3월 14일 마르가레테 카타리나 소피아 아나 리제베르크(1856년 2월 15일 ~ 1904년 6월 25일)와 결혼했다. 부부는 적어도 두 명의 자녀를 두었으나, 불행히도 이들은 어린 나이에 사망했다. 몇 년 후 그들은 알프레트 프레게라는 아들을 입양했다. 프레게의 가족 생활에 대해서는 알려진 바가 거의 없다.

1.4. 학술 경력

1874년 프레게는 예나 대학교에서 하빌리타치온을 마쳤고, 예나에서 수학 사강사로 일했다. 1879년에는 예나 대학교의 조교수로 임용되었다. 같은 해, 그의 대표적인 저작 중 하나인 《개념 표기법: 순수 사고의 산술적 형식 언어의 모형》을 출판하며 현대 논리학의 새로운 장을 열었다.

1893년에는 논리주의 프로그램을 담은 《산술의 기본 법칙》 1권을 출판했다. 1896년에는 예나 대학교의 정교수로 승진하였고, 1903년에는 《산술의 기본 법칙》 2권을 출판했다. 그는 1917년 또는 1918년에 예나 대학교에서 은퇴하여 1925년 7월 26일 메클렌부르크포어포메른주의 바트클라이넨에서 사망했다.

2.1. 《개념 표기법》(Begriffsschrift)과 현대 논리학의 기초

1879년에 출판된 《개념 표기법: 순수 사고의 산술적 형식 언어의 모형》(Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens^독일어)은 논리학 역사에 새로운 지평을 열었다. 이 책은 함수와 변수의 개념을 엄밀하게 다루는 등 새로운 시도를 담고 있었다. 프레게의 목표는 수학이 논리에서 비롯된다는 것을 보여주는 것이었으며, 이를 위해 그는 아리스토텔레스의 삼단논법과는 다른, 스토아 학파의 명제 논리에 가까운 기법들을 고안했다.

사실상 프레게는 술어 논리를 공리적으로 발명했으며, 이는 양화된 변수의 발명 덕분이었다. 양화된 변수는 결국 수학과 논리학에서 보편적으로 사용되었고, 다중 일반성의 문제를 해결했다. 이전의 논리학은 논리 상수 '그리고', '또는', '만약...이라면...', '아니다', '일부', '모든'을 다루었지만, 이러한 연산의 반복, 특히 '일부'와 '모든'의 반복은 거의 이해되지 않았다. 예를 들어, "모든 소년은 어떤 소녀를 사랑한다"와 "어떤 소녀는 모든 소년에게 사랑받는다"와 같은 문장의 차이는 매우 인위적으로만 표현될 수 있었지만, 프레게의 형식주의는 "모든 소년은 어떤 소년을 사랑하는 어떤 소녀를 사랑한다"와 같은 문장의 다른 해석을 완벽하게 표현할 수 있었다.

자주 언급되는 예시로, 아리스토텔레스의 논리학은 무한히 많은 소수가 존재한다는 유클리드의 정리와 같은 수론의 근본적인 진술을 표현할 수 없었다. 그러나 프레게의 "개념 표기법"은 그러한 추론을 표현할 수 있었다. 버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 《수학 원리》(1910-1913), 러셀의 기술 이론, 쿠르트 괴델의 괴델의 불완전성 정리, 알프레트 타르스키의 진리 이론에 필수적인 논리적 개념 분석과 형식화 체계는 궁극적으로 프레게에게서 비롯되었다.

프레게가 명시한 목적 중 하나는 추론의 진정한 논리적 원리를 분리하여 수학적 증명을 적절히 표현할 때 "직관"에 호소하지 않도록 하는 것이었다. 직관적 요소가 있다면, 그것은 분리되어 공리로 별도로 표현되어야 했다. 그 이후의 증명은 순전히 논리적이고 빈틈이 없어야 했다. 이러한 가능성을 보여준 후, 프레게의 더 큰 목적은 산술이 논리학의 한 분야라는 견해, 즉 논리주의를 옹호하는 것이었다. 기하학과 달리 산술은 "직관"에 기반을 두지 않고 비논리적 공리도 필요 없다는 것을 보여주려 했다. 이미 1879년 《개념 표기법》에서 중요한 예비 정리들, 예를 들어 삼분법칙의 일반화된 형태는 프레게가 순수 논리로 이해한 범위 내에서 도출되었다.

프레게의 표기법은 다음과 같다.

개념	《개념 표기법》 표기	현대 표기
부정		$\backslash lnot\; A$
함의		$B\backslash implies\; A$
전칭 기호		$\backslash forall\; x\backslash colon\; F(x)$
존재 기호		$\backslash exists\; x\backslash colon\; F(x)$
동치	$A\backslash equiv\; B$	$A\backslash iff\; A$

2.2. 논리주의와 《산술의 기초》(Die Grundlagen der Arithmetik)

이러한 생각은 그의 《산술의 기초: 수의 개념의 수리논리학적 탐구》(Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl^독일어, 1884)에서 비상징적인 용어로 공식화되었다. 프레게는 이 책에서 기존의 심리주의적 수의 개념을 비판하며, 수의 개념이 종합적 개념이 아니라 논리적 분석을 통해 얻어지는 해석적 개념이라고 주장했다. 그는 수학적 진리가 인간의 심리적 과정이나 직관에 의존하는 것이 아니라 객관적인 논리적 원리에 기반해야 한다고 강조했다.

2.3. 《산술의 기본 법칙》(Grundgesetze der Arithmetik)과 논리주의 프로그램

이후 프레게는 《개념 표기법으로부터 유도된 산술의 기본 법칙》(Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet^독일어, 1권 1893년; 2권 1903년)에서 자신의 상징 체계를 사용하여 자신이 논리적이라고 주장하는 공리들로부터 산술의 모든 법칙을 도출하려고 시도했다. 대부분의 공리들은 《개념 표기법》에서 가져왔지만, 일부 중요한 변경 사항이 있었다. 유일하게 진정으로 새로운 원리는 그가 제5 기본 법칙(Basic Law V)이라고 부른 것으로, 함수 f(x)의 "값 범위"는 함수 g(x)의 "값 범위"와 동일하다는 것을 의미한다. 즉, 모든 x에 대해 f(x) = g(x)인 경우에만 동일하다는 것이다.

이 법칙의 핵심적인 경우는 현대 표기법으로 다음과 같이 공식화될 수 있다. 술어 Fx의 확장, 즉 모든 F의 집합을 {x|Fx}라고 하고, Gx에 대해서도 마찬가지라고 하자. 그러면 제5 기본 법칙은 술어 Fx와 Gx가 동일한 확장을 가지는 것은 모든 x에 대해 Fx ↔ Gx인 경우에만 해당된다고 말한다. 즉, 모든 F가 G이고 모든 G가 F인 경우에만 F의 집합이 G의 집합과 동일하다는 것이다.

유명한 일화로, 1903년 《산술의 기본 법칙》 2권이 막 인쇄에 들어가려 할 때 버트런드 러셀은 프레게에게 편지를 보내 러셀의 역설이 프레게의 제5 기본 법칙에서 도출될 수 있음을 보여주었다. 프레게의 체계에서 집합 또는 확장의 원소 관계를 정의하는 것은 쉬운데, 러셀은 "자신을 원소로 포함하지 않는 것들의 집합 x"에 주목했다. 《산술의 기본 법칙》 체계는 이렇게 특징지어진 집합이 자신을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하여 모순된다는 것을 함의했다. 프레게는 2권에 급하게 마지막 부록을 추가하여 모순을 도출하고 제5 기본 법칙을 수정하여 이를 제거할 것을 제안했다. 프레게는 부록을 다음과 같은 예외적으로 솔직한 말로 시작했다. "과학 저술가에게는 자신의 저작이 완성된 후 그 기반 중 하나가 흔들리는 것만큼 불행한 일은 거의 없을 것이다. 이것이 바로 버트런드 러셀 씨의 편지로 인해 내가 처한 상황이었고, 이 책의 인쇄가 거의 완료될 무렵이었다."

프레게가 제안한 해결책은 이후 논의 영역에 단 하나의 대상만이 존재한다는 것을 의미하는 것으로 밝혀져 가치가 없는 것으로 판명되었지만, 최근 연구에서는 《산술의 기본 법칙》 프로그램의 상당 부분이 다른 방식으로 구제될 수 있음이 밝혀졌다.

• 제5 기본 법칙은 다른 방식으로 약화될 수 있다. 가장 잘 알려진 방법은 프레게 연구의 전문가였던 철학자이자 수리 논리학자 조지 불로스(1940-1996)에 의한 것이다. "개념" F는 F 아래에 속하는 대상들이 논의 영역과 일대일 대응을 이룰 수 없는 경우에 "작다"고 한다. 이제 V를 V*로 약화시키면, "개념" F와 "개념" G는 F나 G가 작지 않거나 모든 x에 대해 Fx ↔ Gx인 경우에만 동일한 "확장"을 가진다. V*는 2차 산술이 일관적이라면 일관적이며, 2차 산술의 공리를 증명하기에 충분하다.
• 제5 기본 법칙은 단순히 흄의 원리로 대체될 수 있다. 흄의 원리는 F들의 수가 G들의 수와 동일한 것은 F들을 G들과 일대일 대응시킬 수 있는 경우에만 해당된다고 말한다. 이 원리 또한 2차 산술이 일관적이라면 일관적이며, 2차 산술의 공리를 증명하기에 충분하다. 이 결과는 프레게의 정리라고 불리는데, 산술을 발전시키는 과정에서 프레게가 제5 기본 법칙을 사용하는 것이 흄의 원리 증명에 국한되며, 다시 이로부터 산술적 원리가 도출된다는 것이 밝혀졌기 때문이다.
• 현재 2차 논리로 알려진 프레게의 논리는 소위 술어적 2차 논리로 약화될 수 있다. 술어적 2차 논리와 제5 기본 법칙은 유한주의 또는 수학적 구성주의 방법으로 증명 가능하게 일관적이지만, 매우 약한 산술의 단편들만을 해석할 수 있다.

2.4. 수학 논리에 미친 영향

프레게의 논리학 연구는 1903년 러셀이 《수학 원리》에 프레게와의 차이점을 명시한 부록을 작성할 때까지 국제적으로 거의 주목받지 못했다. 프레게가 사용한 도식적 표기법은 선례가 없었고 (이후로도 모방자가 없었다). 게다가 러셀과 화이트헤드의 《수학 원리》(3권)가 1910-1913년에 출판될 때까지 수리 논리학에 대한 지배적인 접근 방식은 여전히 조지 불(1815-1864)과 그의 지적 후계자들, 특히 에른스트 슈뢰더(1841-1902)의 것이었다. 그럼에도 불구하고 프레게의 논리적 아이디어는 그의 학생 루돌프 카르나프(1891-1970)와 다른 추종자들, 특히 버트런드 러셀과 루트비히 비트겐슈타인(1889-1951)의 저술을 통해 퍼져나갔다.

3.1. 의미와 지시체 (Sinn und Bedeutung)

프레게의 1892년 논문 "의미와 지시체에 대하여"(Über Sinn und Bedeutung^독일어)는 그의 영향력 있는 의미(Sinn^독일어)와 지시체(Bedeutung^독일어, "의미" 또는 "지시"로도 번역됨) 사이의 구분을 도입했다. 의미에 대한 전통적인 설명이 표현이 하나의 특징(지시체)만을 가진다고 보았던 반면, 프레게는 표현이 두 가지 다른 중요성 측면, 즉 의미와 지시체를 가진다는 견해를 도입했다.

지시체는 고유명사에 적용되는데, 주어진 표현(예: "톰"이라는 표현)은 단순히 그 이름을 가진 실체(톰이라는 이름의 사람)를 지시한다. 프레게는 또한 명제들이 그들의 진리값과 지시적 관계를 가진다고 보았다(즉, 문장은 그것이 취하는 진리값을 "지시한다"). 이와 대조적으로, 완전한 문장과 관련된 의미는 그 문장이 표현하는 사고이다. 표현의 의미는 지시되는 대상의 "제시 방식"이라고 하며, 동일한 지시체에 대해 여러 가지 제시 방식이 있을 수 있다.

이러한 구분은 다음과 같이 설명될 수 있다. 일반적인 사용에서 논리적 목적상 분석 불가능한 전체인 "찰스 필립 아서 조지 마운트배튼-윈저"라는 이름과 "영국 국왕"이라는 기능적 표현(이는 "ξ의 국왕"과 "영국"이라는 유의미한 부분을 포함한다)은 동일한 지시체를 가진다. 즉, 찰스 3세로 가장 잘 알려진 인물이다. 그러나 "영국"이라는 단어의 의미는 후자 표현의 의미의 일부이지만, 찰스 국왕의 "전체 이름"의 의미의 일부는 아니다.

이러한 구분은 버트런드 러셀에 의해, 특히 그의 논문 "지시에 대하여"에서 논쟁의 대상이 되었다. 이 논쟁은 사울 크립키의 유명한 강연 "이름과 필연성"에 의해 더욱 촉발되어 현재까지 이어지고 있다.

3.2. 개념과 대상 (Begriff und Gegenstand)

프레게는 1892년 논문 "개념과 대상에 대하여"(Ueber Begriff und Gegenstand^독일어)에서 논리적 개념과 실제 대상 간의 관계를 분석하고 구분하는 이론을 다루었다. 그는 개념을 함수처럼 불포화된 것으로 보았고, 대상은 포화된 것으로 보았다. 즉, 개념은 대상을 취하여 진리값을 산출하는 함수와 같다고 보았다.

3.3. 기타 언어철학적 개념

프레게의 언어철학에는 구성성 원리(Principle of Compositionality)와 맥락 원리(Context Principle)와 같은 중요한 개념들이 포함되어 있다. 구성성 원리는 복합 표현의 의미는 그 구성 요소들의 의미와 결합 방식에 의해 결정된다는 원리이며, 맥락 원리는 단어의 의미는 문맥 안에서만 이해될 수 있다는 원리이다.

4.1. 심리주의 비판

프레게는 논리와 수학적 사고에서 심리주의적 설명을 배격하고 객관성을 강조했다. 그는 논리적 법칙이 인간의 사고 과정이나 심리 상태에 의존하는 것이 아니라, 객관적이고 보편적인 진리라고 주장했다. 이러한 심리주의 비판은 그의 논리주의 프로그램의 핵심 기반이 되었다.

4.2. 플라톤주의

프레게는 수, 명제 등 추상적 대상에 대해 플라톤주의적 실재론적 관점을 가졌다. 그는 이러한 추상적 대상들이 인간의 마음이나 언어에 독립적으로 존재하며, 객관적인 실재성을 가진다고 보았다. 이는 그의 심리주의 비판과도 연결되어, 수학적 대상이 심리적 구성물이 아니라 객관적인 존재임을 강조하는 근거가 되었다.

4.3. 개인적 정치 견해 및 논란

프레게의 출판된 철학 저술들은 매우 기술적인 성격을 띠고 실용적인 문제와는 거리가 멀어서, 프레게 학자 마이클 더밋은 "프레게의 일기를 읽다가 자신의 영웅이 반유대주의자였다는 것을 발견하고 충격을 받았다"고 표현했다. 1918년-1919년 독일 혁명 이후 그의 정치적 견해는 더욱 급진적이 되었다.

그의 생애 마지막 해인 76세에 작성된 일기에는 의회 제도, 민주주의자, 자유주의자, 가톨릭교도, 프랑스인, 그리고 정치적 권리를 박탈하고 가능하다면 독일에서 추방해야 한다고 생각했던 유대인에 반대하는 정치적 견해가 담겨 있었다. 프레게는 "한때 자신을 자유주의자라고 생각했고 오토 폰 비스마르크를 존경했다"고 고백했지만, 이후 에리히 루덴도르프 장군에게 공감했다. 1924년 5월 5일자 일기에서 프레게는 휴스턴 스튜어트 체임벌린의 독일의 갱신에 실린 아돌프 히틀러를 칭찬하는 기사에 동의를 표했다. 프레게는 독일의 유대인들이 "사라지거나, 더 나아가 독일에서 사라지는 것이 최선일 것"이라는 믿음을 기록했다. 일기에는 보통 선거와 사회주의에 대한 비판도 포함되어 있다.

그러나 프레게는 실제 생활에서 유대인들과 우호적인 관계를 유지했다. 그의 학생 중에는 그의 가르침을 매우 높이 평가했던 게르숌 숄렘도 있었고, 루트비히 비트겐슈타인에게 버트런드 러셀과 함께 공부하기 위해 영국으로 떠나도록 격려한 것도 프레게였다. 1924년 일기는 1994년 사후에 출판되었다.

6.1. 초기 무시와 후대의 재발견

프레게는 생전에는 그의 업적이 제대로 평가받지 못하고 학계에서 거의 무시되었다. 그러나 주세페 페아노(1858-1932), 버트런드 러셀(1872-1970), 그리고 어느 정도는 루트비히 비트겐슈타인(1889-1951)이 그의 작업을 후대 철학자들에게 소개하면서 그의 중요성이 재발견되었다. 프레게는 아리스토텔레스 이래 가장 위대한 논리학자이자 가장 심오한 수학 철학자 중 한 명으로 널리 간주된다.

6.2. 분석철학 및 후대 사상가에 미친 영향

프레게는 분석철학의 창시자 중 한 명으로, 그의 논리학 및 언어 연구는 철학에서 언어론적 전회를 가져왔다. 그의 개념들은 버트런드 러셀의 기술 이론, 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 《수학 원리》, 쿠르트 괴델의 불완전성 정리, 알프레트 타르스키의 진리 이론의 분석에 결정적인 영향을 미쳤다. 그의 논리적 아이디어는 그의 학생 루돌프 카르나프와 버트런드 러셀, 루트비히 비트겐슈타인, 에드문트 후설 등 다른 추종자들의 저술을 통해 널리 퍼져나갔다.

6.3. 논리주의에 대한 현대적 재평가

러셀의 역설 이후 프레게의 논리주의 프로그램은 큰 타격을 입었으나, 현대 논리학자들은 그의 체계를 수정하고 재평가하려는 노력을 계속하고 있다. 조지 불로스의 제5 기본 법칙 약화, 흄의 원리 사용, 술어적 2차 논리의 도입 등 다양한 방법으로 프레게의 논리주의를 복원하려는 시도가 이루어지고 있으며, 이는 그의 사상이 여전히 현대 논리학에서 중요한 의미를 가짐을 보여준다.