마틴 크러스컬 | 오늘의AI위키

1. 생애

마틴 데이비드 크러스컬은 미국 뉴욕시에서 태어나 뉴로셸에서 유년기를 보냈다. 가정에서는 주로 "데이비드"로 불렸지만, 대외적으로는 "마틴"이라는 이름을 사용했다.

그의 아버지 조지프 B. 크러스컬 1세(Joseph B. Kruskal Sr.^영어)는 성공적인 모피 도매상인이었으며, 어머니 릴리언 로즈 보하우스 크러스컬 오펜하이머(Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer^영어)는 텔레비전 초창기에 종이접기 예술을 대중에게 알린 저명한 예술가로, 뉴욕에서 미국 종이접기 센터(훗날 오리가미USA로 발전)를 설립했다. 마틴은 다섯 형제자매 중 한 명이었고, 그의 두 형제인 조지프 크러스컬과 윌리엄 크러스컬 역시 저명한 수학자였다. 조지프 크러스컬은 다차원 척도법, 크러스컬 나무 정리, 크러스컬 알고리즘의 발견자로 알려져 있으며, 윌리엄 크러스컬은 크러스컬-월리스 검정의 발견자이다.

마틴 크러스컬은 시카고 대학교에서 학부 과정을 마친 후 뉴욕 대학교에서 학업을 이어갔다. 그는 리처드 쿠랑의 지도 아래 1952년 "최소곡면에 대한 다리 정리"라는 주제로 박사 학위를 받았다.

1.2. 학술 경력

크러스컬은 경력의 상당 부분을 프린스턴 대학교에서 보냈다. 그는 1951년부터 플라즈마 물리학 연구소에서 연구 과학자로 근무했으며, 이후 1961년 천문학 교수가 되었다. 1968년에는 응용 계산 수학 프로그램의 설립자 겸 학과장을 역임했고, 1979년에는 수학 교수로 임명되었다. 1989년 프린스턴 대학교에서 은퇴한 뒤에는 럿거스 대학교 수학과에 합류하여 데이비드 힐베르트 석좌교수를 지냈다.

2. 주요 연구 분야 및 업적

마틴 크러스컬의 과학적 관심사는 순수 수학에서부터 과학에 대한 수학의 응용에 이르기까지 광범위한 주제를 포괄했다. 그는 평생 동안 편미분 방정식과 비선형 해석의 여러 주제에 관심을 가졌으며, 점근 전개, 단열 불변량 및 수많은 관련 주제에 대한 근본적인 아이디어를 개발했다.

2.1. 비선형 해석 및 편미분 방정식

크러스컬은 편미분 방정식과 비선형 해석 분야에서 평생에 걸쳐 깊은 관심을 보였다. 그는 점근 전개와 단열 불변량 등 이 분야의 기초적인 개념들을 발전시켰다. 특히 그의 박사 학위 논문은 리처드 쿠랑과 버나드 프리드먼의 지도 아래 "최소곡면에 대한 다리 정리"라는 주제였다.

2.2. 플라즈마 물리학

1950년대와 1960년대 초반, 크러스컬은 주로 플라즈마 물리학 연구에 매진하며 이 분야의 여러 근본적인 개념들을 발전시켰다. 그의 단열 불변량 이론은 핵융합 연구에 중요한 기여를 했다. 그의 이름을 딴 플라즈마 물리학의 주요 개념으로는 크러스컬-샤프라노프 불안정성과 번스타인-그린-크러스컬 모드(Bernstein-Greene-Kruskal (BGK) modes^영어)가 있다. 그는 I. B. 번스타인, E. A. 프리먼, R. M. 쿨스루드와 함께 자기유체역학(Magnetohydrodynamics, MHD^영어) 에너지 원리를 개발했다. 그의 관심사는 실험실 플라즈마뿐만 아니라 플라즈마 천체물리학으로도 확장되었다.

2.3. 일반 상대성 이론

1960년, 크러스컬은 일반 상대성 이론에서 가장 단순한 유형의 블랙홀에 대한 완전한 고전적 시공간 구조를 발견했다. 구형 대칭 시공간은 일반 상대성 이론 초기에 발견된 슈바르츠실트 해로 설명될 수 있지만, 원래 형태로는 블랙홀의 사건의 지평선 외부 영역만 설명했다. 크러스컬은 조지 시케레스(George Szekeres^영어)와 병행하여 슈바르츠실트 해의 최대 해석적 연속성을 발견했으며, 현재 크러스컬-시케레스 좌표라고 불리는 좌표를 사용하여 이를 우아하게 제시했다.

이는 크러스컬이 블랙홀 내부가 두 개의 동일하고 점근적으로 평평한 우주를 연결하는 "웜홀"처럼 보인다는 놀라운 발견으로 이어졌다. 이것은 일반 상대성 이론에서 웜홀 해의 첫 번째 실제 사례였다. 이 웜홀은 어떠한 관찰자나 신호도 한 우주에서 다른 우주로 이동하기 전에 특이점으로 붕괴된다. 이는 현재 일반 상대성 이론에서 웜홀의 일반적인 운명으로 여겨진다. 1970년대에 블랙홀 물리학의 열적 특성이 발견되었을 때, 슈바르츠실트 해의 웜홀 속성은 중요한 요소임이 밝혀졌다. 오늘날 이는 양자 중력을 이해하려는 시도에서 근본적인 단서로 간주된다.

2.4. 솔리톤 및 적분 가능 시스템

크러스컬의 가장 널리 알려진 연구는 1960년대에 시간뿐만 아니라 하나의 공간 변수의 함수를 포함하는 특정 비선형 편미분 방정식의 적분 가능성을 발견한 것이다. 이러한 발전은 크러스컬과 노먼 자부스키가 코르테베르크-드브리스 방정식(Korteweg-de Vries equation, KdV^영어)으로 알려진 비선형 방정식을 해리 다임(Harry Dym^영어)의 도움을 받아 컴퓨터 시뮬레이션으로 개척하면서 시작되었다. KdV 방정식은 비선형 분산파의 전파에 대한 점근 모형이지만, 크러스컬과 자부스키는 KdV 방정식의 "고립파" 해가 비분산적으로 전파되며 심지어 다른 파동과의 충돌 후에도 그 형태를 회복한다는 놀라운 발견을 했다. 이러한 파동의 입자 유사한 특성 때문에 그들은 이를 "솔리톤"이라고 명명했고, 이 용어는 거의 즉시 대중화되었다.

이 연구는 엔리코 페르미, 존 파스타, 스타니스와프 울람, 그리고 메리 싱구가 로스앨러모스 국립 연구소에서 1955년에 수행한 특정 비선형 격자에 대한 초기 컴퓨터 시뮬레이션에서 관찰되었던 준-회귀 역설에 부분적으로 영향을 받았다. 이들 연구자는 예상했던 빠른 열역학적 평형화와 달리 1차원 비조화 진동자 사슬에서 장시간 동안 거의 주기적인 거동을 관찰했다. 크러스컬과 자부스키는 크러스컬이 그 1차원 사슬의 연속체 극한으로 얻은 KdV 방정식을 시뮬레이션하여 솔리톤적 거동을 발견했는데, 이는 열역학적 평형화와는 반대되는 현상이다. 이는 이 현상의 핵심으로 판명되었다.

고립파 현상은 19세기 존 스콧 러셀의 연구로 거슬러 올라가는 미스터리였다. 그는 1834년에 운하에서 전파되는 현재 우리가 솔리톤이라고 부르는 것을 관찰하고 말을 타고 뒤쫓았다. 스콧 러셀은 파동 수조 실험에서 솔리톤을 관찰했음에도 불구하고, 가장 큰 진폭의 고립파인 "위대한 변환파"에 집중했기 때문에 이를 솔리톤으로 인식하지 못했다. 1844년 영국 과학진흥협회에 제출한 파동 보고서에 제시된 그의 실험 관찰은 조지 에어리와 조지 스토크스 경의 회의적인 시선을 받았다. 이는 그들의 선형 수파 이론으로는 솔리톤을 설명할 수 없었기 때문이었다. 조제프 부시네스크(Joseph Boussinesq^영어)는 1871년에, 레일리 경(Lord Rayleigh^영어)은 1876년에 스콧 러셀의 관찰을 정당화하는 수학 이론을 발표했다. 1895년, 디데릭 코르테베르크(Diederik Korteweg^영어)와 구스타프 데 브리스(Gustav de Vries^영어)는 얕은 물의 파동(러셀이 관찰한 운하의 파동과 같은)을 설명하기 위해 KdV 방정식을 공식화했지만, 이 방정식의 본질적인 특성은 1960년대 크러스컬과 그의 동료들의 연구가 있기 전까지는 이해되지 않았다.

솔리톤적 거동은 KdV 방정식이 질량, 에너지, 운동량의 명백한 보존 법칙 외에 다른 보존 법칙을 가지고 있음을 시사했다. 네 번째 보존 법칙은 제럴드 휘텀(Gerald Whitham^영어)에 의해, 다섯 번째 보존 법칙은 크러스컬과 자부스키에 의해 발견되었다. 로버트 M. 미우라(Robert M. Miura^영어)는 손으로 여러 새로운 보존 법칙을 발견했으며, 변형된 코르테베르크-드브리스(MKdV) 방정식으로 알려진 관련 방정식에도 많은 보존 법칙이 존재함을 보였다. 이러한 보존 법칙들을 통해 미우라는 KdV와 MKdV 방정식의 해들 사이의 연결(미우라 변환이라고 함)을 보여주었다. 이는 크러스컬이 클리포드 S. 가드너(Clifford S. Gardner^영어), 존 M. 그린(John M. Greene^영어), 그리고 미우라(GGKM)와 함께 KdV 방정식의 정확한 해를 구하고 그 보존 법칙을 이해하는 일반적인 기술을 발견할 수 있게 한 단서가 되었다. 이것이 바로 역산란법으로, KdV 방정식이 무한한 수의 푸아송 가환 보존량을 허용하고 완전히 적분 가능하다는 것을 보여주는 놀랍고 우아한 방법이다. 이 발견은 솔리톤 현상에 대한 현대적인 이해의 기반을 제공했다. 즉, 고립파는 모든 보존 법칙을 만족시키는 유일한 방법이기 때문에 방출 상태에서 재현된다. GGKM 직후, 피터 랙스는 역산란법을 동일 스펙트럼 변형과 랙스 쌍의 관점에서 해석하여 유명해졌다.

역산란법은 수학 및 물리학의 다양한 분야에서 놀랍도록 다양한 일반화와 응용을 가져왔다. 크러스컬 자신도 사인-고든 방정식에 대한 무한한 수의 보존량 존재와 같은 일부 일반화를 개척했다. 이는 M. J. 애블로비츠(Ablowitz^영어), D. J. 카우프(Kaup^영어), A. C. 뉴웰(Newell^영어), 그리고 H. 세거(Segur^영어) (AKNS)에 의해 해당 방정식에 대한 역산란법의 발견으로 이어졌다. 사인-고든 방정식은 1+1차원 상대론적 파동 방정식으로, 솔리톤 현상도 나타내며 가해 상대론적 장론의 중요한 모형이 되었다. AKNS 이전의 선구적인 연구에서 블라디미르 E. 자카로프(Vladimir E. Zakharov^영어)와 샤바트(Shabat^영어)는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 역산란법을 발견했다. 솔리톤은 이제 물리학에서 생물학에 이르기까지 자연에 널리 퍼져 있음이 알려져 있다.

1986년, 크러스컬과 자부스키는 프랭클린 연구소로부터 하워드 N. 포츠 메달(Howard N. Potts Gold Medal^영어)을 공동 수상했다. 이는 "수리 물리학에 대한 기여와 분석 및 계산의 초기 창의적 결합, 특히 솔리톤의 특성에 대한 선구적인 연구" 때문이었다. 미국 수학회는 2006년 가드너, 그린, 크러스컬, 미우라에게 스틸 상을 수여하며, 그들의 작업 이전에는 "어떤 중요한 종류의 비선형 미분 방정식에 대한 정확한 해를 위한 일반 이론이 없었다"고 밝혔다. 미국 수학회는 덧붙여 "수학 응용 분야에서 솔리톤과 그 후손들(kinks, anti-kinks, instantons, breathers)은 비선형 광학, 플라즈마 물리학, 해양, 대기, 행성 과학과 같은 다양한 분야에 진입하여 변화시켰다. 비선형성은 혁명을 겪었다. 즉, 제거해야 할 골칫거리에서 활용해야 할 새로운 도구로 변모했다."라고 평가했다.

2.5. 페인르베 방정식

1980년대에 크러스컬은 페인르베 방정식에 깊은 관심을 갖게 되었다. 이 방정식들은 솔리톤 방정식의 대칭 축소로 자주 나타났으며, 크러스컬은 이 방정식들을 특징짓는 속성과 완전 적분 가능한 시스템 사이에 존재하는 밀접한 관계에 매료되었다. 그의 후속 연구의 상당 부분은 이러한 관계를 이해하고 페인르베 방정식을 연구하기 위한 새롭고 직접적이며 간단한 방법을 개발하려는 열망에 의해 추진되었다. 크러스컬은 미분 방정식에 대한 표준적인 접근 방식에 거의 만족하지 않았다.

여섯 개의 페인르베 방정식은 페인르베 속성이라는 특징적인 속성을 가지고 있다. 즉, 그들의 해는 초기 조건에 따라 위치가 달라지는 모든 특이점 주변에서 단일 값을 가진다. 크러스컬의 의견으로는, 이 속성이 페인르베 방정식을 정의하므로, 추가적인 불필요한 구조 없이 이 속성에서 시작하여 해에 대한 모든 필요한 정보를 도출할 수 있어야 한다고 보았다. 첫 번째 결과는 날리니 조시(Nalini Joshi^영어)와의 페인르베 방정식에 대한 점근 연구였는데, 당시에는 관련 선형 문제의 사용을 요구하지 않는다는 점에서 이례적이었다. 고전적인 결과에 대한 그의 끈질긴 질문은 조시와 함께 개발한 직접적이고 간단한 방법으로 페인르베 방정식의 페인르베 속성을 증명하는 데 기여했다.

2.6. 초현실 수와 점근 기하학

경력 후반에 크러스컬의 주요 관심사 중 하나는 초현실 수 이론이었다. 초현실 수는 구성적으로 정의되며, 실수의 모든 기본 속성과 연산을 가진다. 이들은 실수와 함께 여러 유형의 무한대 및 무한소를 포함한다. 크러스컬은 이론의 기초, 초현실 함수 정의, 그리고 그 구조 분석에 기여했다. 그는 초현실 수, 점근성, 그리고 지수 점근성 사이에 놀라운 연결 고리를 발견했다. 1970년대 후반 콘웨이, 크러스컬, 노턴이 제기하고 크러스컬이 끈질기게 탐구한 주요 미해결 질문은 충분히 잘 동작하는 초현실 함수가 정적분을 가지는지 여부였다. 이 질문은 콘웨이 등이 기대했던 완전한 일반성에서는 2015년 코스틴, 프리드먼, 얼릭에 의해 부정적으로 답변되었다. 그러나 코스틴 등("Costin et al.")의 분석은 크러스컬의 점근 해석에 대한 넓은 의미의 비전이 통하는 충분히 광범위한 초현실 함수 클래스에 대해 정적분이 존재함을 보여준다. 그가 사망할 당시, 크러스컬은 O. 코스틴(O. Costin^영어)과 함께 초현실 해석에 관한 책을 집필 중이었다.

크러스컬은 "극한 상황에서 응용 수학 시스템을 다루는 기술"을 설명하기 위해 점근기하학(asymptotology^영어)이라는 용어를 만들었다. 그는 7가지 점근기하학 원리를 정립했는데, 이는 다음과 같다: 1. 단순화 원리; 2. 재귀 원리; 3. 해석 원리; 4. 예측 불가능한 행동 원리; 5. 소멸 원리; 6. 최대 균형 원리; 7. 수학적 무의미 원리.

점근기하학이라는 용어는 솔리톤만큼 널리 사용되지는 않지만, 다양한 유형의 점근적 방법은 과학이 탄생한 이래 거의 성공적으로 사용되어 왔다. 그럼에도 불구하고 크러스컬은 점근기하학이 어떤 의미에서는 과학과 예술의 중간에 있는 특별한 지식 분야임을 보여주려고 노력했으며, 그의 제안은 매우 유익하다는 평가를 받았다.

3. 개인사

마틴 크러스컬의 아내 로라 크러스컬(Laura Kruskal^영어)은 종이접기에 대한 강사이자 작가였으며, 여러 새로운 종이접기 모델의 창시자였다. 그들은 56년간 결혼 생활을 유지했다. 마틴 크러스컬 또한 비밀 메시지를 보낼 수 있는 봉투를 포함하여 몇 가지 종이접기 모델을 발명했다. 이 봉투는 쉽게 펼칠 수 있었지만, 펼쳐진 후에는 원래대로 다시 접어 비밀을 숨기기 어려웠다. 그들 부부는 세 명의 자녀를 두었다: 캐런(Karen^영어)은 변호사, 케리(Kerry^영어)는 아동 도서 작가, 그리고 클라이드 크러스컬(Clyde Kruskal^영어)은 컴퓨터 과학자이다. 클라이드는 메릴랜드 대학교의 컴퓨터 과학자이기도 하다.

4. 수상 및 영예

크러스컬이 받은 주요 상과 영예, 회원 자격은 다음과 같다.

미국 수학회 깁스 강연자 (1979)
미국 물리학회 대니 하이네만 수리물리학상 (1983)
프랭클린 연구소 하워드 N. 포츠 금메달 (1986)
미국 국립 과학원 응용 수학 및 수치 해석상 (1989)
미국 국가 과학 메달 (1993)
SIAM 존 폰 노이만 강연자 (1994)
헤리엇-와트 대학교 명예 이학박사 (2000)
산업 및 응용 수학 협의회 맥스웰 상 (2003)
미국 수학회 스틸 상 (2006)
미국 국립 과학원 회원 (1980)
미국 예술 과학 아카데미 회원 (1983)
왕립학회 해외 회원(Foreign Member of the Royal Society, ForMemRS^영어)으로 선출 (1997)
러시아 과학 아카데미 해외 회원으로 선출 (2000)
에든버러 왕립 학회 펠로우로 선출 (2001)

5. 사망

마틴 데이비드 크러스컬은 2006년 12월 26일 사망했다.

6. 영향 및 평가

마틴 크러스컬은 1993년 미국 국가 과학 메달을 수상했는데, 이는 "비선형 진화 방정식의 솔리톤 해 이론의 주요 설계자로서 20년 이상 비선형 과학의 리더로서 미친 영향" 때문이었다.

저명한 수학자 필립 A. 그리피스(Philip A. Griffiths^영어)는 밀레니엄 전환기의 수학 상태를 조사한 한 기사에서 KdV 방정식의 적분 가능성 발견이 "수학의 통일성을 가장 아름다운 방식으로 보여주었다"고 썼다. 그는 "이것은 계산과 미분 방정식을 연구하는 전통적인 방식인 수학적 분석의 발전을 포함한다. 이 미분 방정식의 해는 대수 기하학의 특정 매우 우아한 구성을 통해 이해될 수 있음이 밝혀졌다. 해들은 또한 표현론과 밀접하게 관련되어 있는데, 이러한 방정식들이 무한한 수의 숨겨진 대칭을 가지고 있음이 밝혀지기 때문이다. 마지막으로, 그것들은 초등 기하학의 문제들과 다시 연결된다"고 덧붙였다.

7. 관련 항목

크러스컬 카운트